Квадратичные формы и квадрики. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Линейная алгебра Индекс инерции квадратичной формы
Сентябрь оказался успешным месяцем для всех классов активов. По оценкам "Денег", почти все инвестиции обеспечили положительный результат. При этом самый высокий доход принесли вложения в золото, которые выиграли не только от роста стоимости драгоценного металла, но и от ослабления рубля. Высокую прибыль принесли инвесторам основные категории ПИФов, депозиты, а также большая часть российских акций. Убыточными стали популярные в последние годы фонды облигаций, а также акции Сбербанка, которые сильнее всего могут пострадать в случае ужесточения санкций США.
Виталий Капитонов
Спустя пять месяцев самой доходной инвестицией за месяц стало золото. По оценке "Денег", вложив 15 августа в драгоценный металл 100 тыс. руб., инвестор мог получить через месяц почти 5 тыс. руб. дохода. Это второй по величине месячный результат в этом году. Больше инвестор мог заработать в апреле — 9,3 тыс. руб.
Высокая доходность вложений в благородный металл лишь отчасти связана с ростом его цены. C середины августа стоимость золота выросла на 2,4%, до $1205 за тройскую унцию. Это стало отражением инфляционных ожиданий в США. По данным Министерства торговли США, инфляция в стране замедлилась с 2,9% в июле до 2,7% в августе, но остается выше целей ФРС. Таким образом, инфляция продолжает расти, что позволит ФРС повышать ставку без резких изменений. Поддержку драгоценному металлу оказали новости о том, что власти США и Канады продолжают предпринимать попытки найти компромисс по новому соглашению НАФТА. "Эти новости снижают обеспокоенность относительно торговых отношений, которая оказывала давление на рынок золота и поддерживала доллар",— отмечает стратег по операциям на товарно-сырьевых рынках Sberbank Investment Research Михаил Шейбе. Эффект растущих цен на золото был усилен ростом курса доллара в России (+2,5%). В результате рублевые инвестиции в драгоценный металл принесли значительный доход.
Впрочем, к дальнейшим инвестициям в золото стоит относиться с осторожностью, считают участники рынка. Ключевым риском для инвестиций в благородный металл остается эскалация торгового противостояния между США и Китаем. "Фактор политического давления исключен, а это значит, что появление новых барьеров — дело практически решенное. Такое развитие событий негативно для золота, поскольку возрастет спрос на доллар как на защитный актив",— считает Михаил Шейбе.
Какой доход принесли вложения в золото (%)
Источники: Bloomberg, Reuters, Сбербанк.
В числе наиболее доходных финансовых продуктов остаются паевые инвестиционные фонды, а отдельные продукты управляющих компаний смогли обеспечить маржу, превышающую показатель золота. В октябре самыми успешными оказались вложения в отраслевые фонды акций, ориентированные на металлургические, телекоммуникационные и нефтегазовые компании. По оценке "Денег", основанной на данных Investfunds, по итогам месяца вложения в такие фонды принесли бы частным инвесторам от 2,2 тыс. руб., до 5,2 тыс. руб.
Высокий заработок обеспечили и другие категории фондов: индексные фонды, смешанных инвестиций, еврооблигаций. Фонды этих категорий смогли бы принести своим инвесторам от 200 руб. до 4 тыс. руб. на 100 тыс. вложений.
Негативный результат принесли полюбившиеся частным инвесторам облигационные фонды. Фонды данной категории относятся к числу консервативных, поэтому потери частных инвесторов были символическими — до 1 тыс. руб. В таких условиях инвесторы начали фиксировать прибыль в облигационных фондах. По данным Investfunds, в августе розничные инвесторы вывели из облигационных фондов 4 млрд руб. Быстрее они забирали из фондов данной категории в декабре 2014 года. Тогда на фоне девальвации курса рубля и стремительного роста ставок на внутреннем рынке инвесторы вывели из фондов более 4,5 млрд руб.
Высвобожденную ликвидность инвесторы отчасти направляют на покупку более рискованных фондов акций. Объем вложенных средств в фонды данной категории в августе превысил 3,5 млрд руб., что на 500 млн руб. больше объема привлечений в июле. Спрос на рисковые стратегии растет уже шестой месяц подряд, а объем вложений занимает все большую долю в общем притоке в розничные фонды. Наибольшим спросом у инвесторов пользуются фонды телекоммуникаций и нефтегаза.
Какой доход принесли вложения в паевые фонды (%)
|
Источники: Национальная лига управляющих, Investfunds.
Августовские аутсайдеры — акции — поднялись на третье место с четвертого рейтинга "Денег". За минувший месяц инвестиции в индекс ММВБ принесли бы розничным инвесторам 3,4 тыс. руб. При этом начало рассмотренного периода не предвещало столь высокого результата. В период с 15 по 18 августа индекс ММВБ снизился на 1,2%. Однако ситуация улучшилась после 24 августа. За три недели индекс подскочил почти на 5% и поднялся до уровня 2374 пункта. Это всего на 2 пункта ниже исторического максимума, установленного в марте.
Впрочем, в сентябре многие фондовые индексы развивающихся и развитых стран продемонстрировали положительную динамику. По оценкам Bloomberg, российские индексы выросли в долларовом выражении всего на 4,4%. Сильнее рост продемонстрировали только турецкие индексы, поднявшиеся на 5,9-6,3%. Среди индикаторов развитых стран лидером стал итальянский FTSE MIB, прибавивший за месяц 3,4%.
Сильнее всего подросли акции АЛРОСА, "Газпрома", ГМК "Норильский никель" и "Магнита": на этих бумагах инвестор мог заработать 4,2-8,3 тыс. руб. на каждую сотню тысяч инвестиций. По словам ведущего аналитика ИК "Олма" Антона Старцева, интерес инвесторов к бумагам АЛРОСА поддержало высказывание министра финансов Антона Силуанова о том, что компания может направить 75% чистой прибыли на выплату дивидендов.
Исключением из общей картины стали акции "РусГидро", "Ростелекома", "Аэрофлота", инвестиции в которые принесли бы убыток в размере от 200 руб. до 1,4 тыс. руб. Максимальные потери оказались бы у инвесторов, вложивших деньги в ценные бумаги Сбербанка,— 2,1 тыс. руб. Его акции остаются под давлением комментариев чиновников Госдепартамента США, которые не исключают возможности санкций в отношении банка в ноябре. Такие перспективы пугают международных инвесторов и вынуждают их выходить не только из ОФЗ, но и из бумаг банка.
После обвала в августе и сентябре акции Сбербанка стали привлекательными для инвестирования, считают аналитики. "Отскок в бумагах крупнейшего российского банка очень вероятен, и риски их покупок вполне оправданны. Среднесрочным инвесторам пока следует ориентироваться на фиксацию прибыли в районе 180 руб. за акцию",— считает аналитик "АЛОР Брокер" Алексей Антонов.
Какой доход принесли вложения в акции (%)
|
Итак, согласно теореме о приведении квадратичной формы, для любой квдратичной формы \(A(x,x)\) существует канонический базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\), так что для любого вектора \(x\), \[ x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \] Так как \(A(x,x)\) вещественно-значна, и наши замены базиса также включают только вещественные числа, приходим к выводу, что числа \(\lambda _k\) вещественны. Среди этих чисел есть положительные, отрицательные и равные нулю.
Определение. Число \(n_+\) положительных чисел \(\lambda _k\) называется положительным индексом квадратичной формы \(A(x,x)\) , число \(n_-\) отрицательных чисел \(\lambda _k\) называется отрицательным индексом квадратичной формы , число \((n_++n_-)\) называется рангом квадратичной формы . Если \(n_+=n\), квадратичная форма называется положительной .
Вообще говоря, приведение квадратичной формы к диагональному виду реализуется не единственным образом. Возникает вопрос: зависят ли числа \(n_+\), \(n_-\) от выбора базиса, в котором квдратичная форма диагональна?
Теорема (Закон инерции квадратичных форм). Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от способа приведения ее к каноническому виду.
Пусть имеется два канонических базиса, \(\{f\}\), \(\{g\}\), так что любой вектор \(x\) представляется в виде: \[ x=\sum_{k=1}^n\eta _kf_k=\sum _{m=1}^n\zeta _mg_m, \] причем \[ A(x,x)=\sum_{k=1}^n\lambda _k\eta _k^2=\sum _{m=1}^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Пусть среди \(\lambda _k\) первые \(p\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нули, среди \(\mu_m\) первые \(s\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нулевые. Нам необходимо доказать, что \(p=s\). Перепишем (71): \[ \sum_{k=1}^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _{m=s+1}^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_{k=p+1}^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _{m=1}^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] так что все слагаемые в обеих частях равенства неотрицательны. Предположим, что \(p\) и \(s\) не равны, например, \(p
Мы доказали, что совпадают положительные индексы. Аналогично можно доказать, что совпадают и отрицательные индексы. ч.т.д.
1. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные формы:
а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A (x , x ) приводится к каноническому виду. На самом деле не меняется и число положительных и отрицательных коэффициентов.
Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм) . Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду.
Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n двумя способами приведена к нормальному виду, то есть
f
= + 
+ … + 
– 
– … – 
,
f
= 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
.
Можно доказать, что k
= l
.
Определение 11.14. Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится действительная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы; число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции , а их сумма – индексом инерции квадратичной формы или сигнатурой формы f .
Если p – положительный индекс инерции; q – отрицательный индекс инерции; k = r = p + q – индекс инерции.
Классификация квадратичных форм
Пусть у квадратичной формы A (x , x ) индекс инерции равен k , положительный индекс инерции равен p , отрицательный индекс инерции равен q , тогда k = p + q .
Было
доказано, что в любом каноническом
базисе f
= {f
1 ,
f
2 ,
…, f
n
}
эта квадратичная форма A
(x
,
x
)
может быть приведена к нормальному виду
A
(x
,
x
) = 
+ 
+ … + 
– 
– … – 
,
где
1 ,
2 ,
…,
n
координаты
вектора x
в базисе {f
}.
Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
Утверждение 11.1. A (x , x ), заданная в n V , была знакоопределенной , необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции p , либо отрицательный индекс инерции q , был равен размерности n пространства V .
При этом если p = n , то форма положительно x ≠ 0 A (x , x ) > 0).
Если же q = n , то форма отрицательно определена (то есть для любого x ≠ 0 A (x , x ) < 0).
Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.2. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была знакопеременной (то есть существуют такие x , y что A (x , x ) > 0 и A (y , y ) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была квазизнакопеременной (то есть для любого вектора x или A (x , x ) ≥ 0 или A (x , x ) ≤ 0 и найдется такой ненулевой вектор x , что A (x , x ) = 0) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух соотношений: p < n , q = 0 или p = 0, q < n .
Замечание . Для того чтобы применять эти признаки, квадратичную форму надо привести к каноническому виду. В критерии знакоопределенности Сильвестра 15 этого не требуется.
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.
Пусть L n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а ). Пусть в L n задан базис е = (е 1 , е 2 , … , е n ) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е 1 = (е 1 1 , е 2 1 , … , е n 1 ) – один из базисов, в котором j (а ) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е 1 . В базисе е 1 форма j (а ) имеет диагональную матрицу А 1 . По формуле (56) А 1 = Т Т ×А ×Т. Матрицы Т и Т Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А , следовательно, rang A = rang A 1 , т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.
Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.
Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение:
Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. j = х 1 2 + х 2 2 + … + х r 2 .
Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет j (а ) = х 1 2 + х 2 2 + … + х к 2 – х к+1 2 – … – х r 2 .
Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции , разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом .
Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм ). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Доказательство. Пусть j (а ) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е 1 , е 2 , … , е n ) линейного пространства L n над полем R , а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n . Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть
j = у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 =
= z 1 2 + z 2 2 + … + z р 2 – z р+1 2 – … – z r 2 . (*)
Пусть у і = , і = 1, 2, … , n (** ), и z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).
Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к ¹ р . Не нарушая общности, можно считать, что к < р . Составим систему уравнений у 1 = у 2 = … = у к = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все у і и z ј и подставим их в равенство (*). Получим –(у к+1 0 ) 2 – … – (у r 0 ) 2 = (z 1 0 ) 2 +(z 2 0 ) 2 + … +(z р 0 ) 2 . Это равенство возможно тогда и только тогда, когда у к+1 0 = … = у r 0 = z 1 0 = z 2 0 = … = z р 0 = 0. Получили, что система z 1 = z 2 = … = z р = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0 имеет ненулевое решение (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n . Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.
9.5. Положительно определённые квадратичные формы
Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой , если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j (а ) > 0.
Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.
Доказательство. Þ Пусть j (а ) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду
у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 (*),
в котором либо r < n , либо r = n , но к < n . Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами у і = (**). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r < n, то возьмём у 1 = у 2 = … = у n–1 = 0, у n = 1 и подставим в (**). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а . Но тогда j (а ) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n , но к < n . Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у 1 2 + у 2 2 + … + у n 2 . Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.
Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.
Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.
Теорема 69 . Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.
Теорема 70 . Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.
Доказательство. Пусть Е n – n -мерное евклидово пространство, е = (е 1 , е 2 , … , е n ) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n , в = у 1 е 1 + у 2 е 2 + … + у n е n , то (а, в ) = х Т ×Г ×у , где х Т – строка координат вектора а , у – столбец координатвектора в . Следовательно, а 2 = (а , а ) = х Т ×Г ×х. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х Т ×Г ×х есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Е n есть ортонормированный базис. В этом базисе а 2 = х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х Т ×Г ×х приводится к нормальному виду х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . По теореме 68 получаем, что форма х Т ×Г ×х является положительно определённой.
Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?
1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 .
2. 4х 1 х 2 – х 1 х 3 + 2х 2 2 – 4х 2 х 3 + 3х 2 х 4 + 5х 4 2 .
3. 4х 1 2 – 5х 1 х 2 + 3х 2 2 – 2х 2 х 3 + х 3 2 + 4х 2 х 4 – х 4 2 .
Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.
1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 = (4х 1 2 – х 1 х 2 + ) – + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 =
В п. 1 § 2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.
В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов. При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны . В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:
где - координаты вектора х в базисе .
1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.
Справедливо следующее утверждение:
Для того чтобы квадратичная форма заданная в n-мерном линейном пространстве была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства
При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.
Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм.
1) Необходимость. Пусть форма положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид
Если при этом то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами
форма обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно,
2) Достаточность. Пусть Тогда соотношение (7.35) имеет вид . Ясно, что причем, если , то , т. е. вектор х нулевой. Следовательно, - положительно определенная форма.
Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.
В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду.
2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение:
Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.
Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть . Тогда для вектора с координатами имеем , а для вектора с координатами имеем .